指数函数的学习

贡献者: n次方的无理数

指数函数是高考的重点,学起来比较复杂,下面就是我所总结的。

1数舌哆猢筢学术语编辑指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex芟坳葩津,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还称为欧拉数。当a>1时,指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在 x等于 0 的时候y等于 1。当0<a<1时,指数函数对于x的负数值迅速攀升,对于x的正数值非常平坦,在x等于 0 的时候等于 1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识:作为实数变量x的函数,的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴,尽管它可以任意程度的靠近它(所以,x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x),它定义在所有正数x上。有时,尤其是在科学中,术语指数函数更一般性的用于形如指数函数指数函数函数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。指数函数的一般形式为(a>0且≠1) (x∈R),从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得a>0且a≠1。如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。在函数中可以看到:(1) 指数函数的定义域为C,这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不连续,因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑。(2) 指数函数的值域为C。(3) 函数图形都是下凹的。(4) a>1时,则指数函数单调递增;若0<a<1,则为单调递减的。(5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数指数函数程中(不等于0)函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。(7) 函数总是通过(0,1)这点,(若,则函数定过点(0,1+b))(8) 指数函数*。(9)指数函数是非奇非偶函数(10)指数函数具有周期性,周期为2πi.指数函数具有反函数,其反函数是对数函数,它是一个多值函数。

2公式推导编辑e的定义:设a>0,a≠1方法一:指数函数指数函数特殊地,当时,。方法二:设,两边取对数ln y=xln a两边对x求导:y'/y=ln a,y'=yln a=a^xln a特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。eº=1

3函数图像编辑指数函数指数函数(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。(如右图)。(4)的图像关于y轴对称。

4幂的比较编辑比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。例如:y1=34 ,y2=35 因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y2 大于y1 。(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。例如:,,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:<1> 对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。<2> 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)时,大于1,异向时小于1.〈3〉例:下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由.⑴因为4>1,所以在R上是增函数;⑵因为0<1/4<1,所以在R上是减函数

5定义域编辑x∈R

6值域编辑

对于一切指数函数来讲。它的a满足a>0且a≠1,即说明y属于C。所以值域为C。a=1时也可以,此时值域恒为1。

7化简技巧编辑

(1)把分子、分母分解因式,可约分的先约分;(2)利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母;(3)把其中适当的几个分式先化简,重点突破;指数函数指数函数(4)可考虑整体思想,用换元法使分式简化;(5)参考图像来进行化简。

注意看题

认真做题,多思考

1 2 3 4 5